Exercice 25, § 2

Soient A une algèbre de Banach complexe et $\pi$ une représentation irréductible non nulle de A dans un espace vectoriel complexe X. Soit $\xi_0$ un élément non nul de X.

a) L’annulateur I de $\xi_0$ est un idéal à gauche maximal régulier de A ; il est fermé.

b) L’application $x\mapsto x\xi_0$ définit par passage au quotient un isomorphisme $\varphi$ du A-module $A/I$ sur le A-module X.

c) Si on transporte par $\varphi$ la norme de l’espace de Banach $A/I$, alors X devient un espace de Banach, et $\|\pi (x)\|\leqslant \|x\|$ pour tout $x\in A$.

d) Si A est primitive (c’est-dire que $\{0\}$ est un idéal primitif, cf. définition I, p. 11, cf. aussi A, VIII, p. 433, exerc. 6), alors $A =\{0\}$ ou $\mathbf{C}\cdot 1$ suivant que A possède ou non un élément unité. (Utiliser ce qui précède et le cor. 4 de I, p. 26).