Bài tập 25, § 2

Cho $A$ là một đại số Banach phức và $\pi$ là một biểu diễn bất khả quy khác không của $A$ trong một không gian vectơ phức $X$. Cho $\xi_0$ là một phần tử khác không của $X$.

a) Linh hóa tử $I$ của $\xi_0$ là một iđêan trái chính quy cực đại của $A$; nó đóng.

b) Ánh xạ $x\mapsto x\xi_0$ xác định qua phép chuyển qua thương một đẳng cấu $\varphi$ của A-môđun $A/I$ lên A-môđun $X$.

c) Nếu chuẩn của không gian Banach $A/I$ được chuyển qua bởi $\varphi$, thì $X$ trở thành một không gian Banach, và $\|\pi (x)\|\leqslant \|x\|$ với mọi $x\in A$.

d) Nếu $A$ là nguyên thủy (nghĩa là $\{0\}$ là một iđêan nguyên thủy, cf. định nghĩa I, p. 11, cf. cũng A, VIII, p. 433, bài tập 6), thì $A =\{0\}$ hoặc $\mathbf{C}\cdot 1$ tùy theo $A$ có hoặc không có một phần tử đơn vị. (Dùng những điều đã nêu trước và Hệ quả 4 của I, p. 26).