Exercice 26, § 2

Soient A une algèbre de Banach et R son radical.

a) Démontrer que, si $r\in R$, la série

converge vers un élément $x\in R$ tel que $x^2-x+r= 0$.

b) Soit $u$ un élément de A dont la classe dans $A/R$ est idempotente. Il existe un idempotent de A congru à $u$ modulo R. (On peut supposer que A admet un élément unité. Soient $q=u-u^2\in R$ et $x\in R$ une solution, construite à l’aide de a), de $x^2-x-q(1-4q)^{-1}= 0$. Alors $u-(2u-1)x$ répond à la question.)