Bài tập 26, § 2

Cho $A$ là một đại số Banach và $R$ là căn của nó.

(a) Chứng minh rằng, nếu $r\in R$, chuỗi

hội tụ đến một phần tử $x\in R$ sao cho $x^2-x+r= 0$.

(b) Cho $u$ là một phần tử của $A$ có lớp của nó trong $A/R$ là lũy đẳng. Tồn tại một phần tử lũy đẳng của $A$ đồng dư với $u$ theo môđun $R$. (Có thể giả sử rằng $A$ có một phần tử đơn vị. Đặt $q=u-u^2\in R$ và $x\in R$ là một nghiệm, được xây dựng nhờ a), của $x^2-x-q(1-4q)^{-1}= 0$. Khi đó $u-(2u-1)x$ trả lời câu hỏi.)