Exercice 28, § 2

Soient A une algèbre de Banach unifère complexe, Δ une partie ouverte de $\mathbf{C}$ et $\lambda \mapsto R(\lambda )$ une application de Δ dans A telle que

quels que soient $\lambda , \mu\in \Delta$. a) Soit $\lambda_0\in \Delta$. Pour tout $\lambda \in \Delta$ tel que $|\lambda -\lambda_0| \cdot \|R(\lambda )\|<1$, on a :

b) Pour tout $\lambda \in \Delta$ et tout entier $n\geqslant 0$, on a

$\frac{\partial^n}{\partial \lambda^n}R(\lambda ) = (-1)^nn$!R($\lambda$ )$^{n+1}$.

c) Si R est holomorphe à l’infini, alors il existe $z, j, x\in A$ tels que $z^2= 0$, $j^2=j,zj=jz= 0,x\in jAj$, et $R(\lambda ) =z+jR(\lambda , x)$ pour $|\lambda |$ assez grand. (Écrire $R(\lambda ) =\sum^{\infty}_{n=0}c_n\lambda^{-n}$ pour $|\lambda |> \lambda_0$, et exprimer que R satisfait à (5). On peut poser $c_0=z,c_1=j,c_2=x.$)

d) Pour qu’il existe $a\in A$ tel que R est la restriction à Δ de la résolvante $\lambda \mapsto R(a, \lambda )$ de $a$, il faut et il suffit qu’il existe $\lambda_0\in \Delta$ tel que $R(\lambda_0)$ soit inversible.

e) Pour tout $x\in A$, la fonction $\lambda \mapsto \sum^{\infty}_{n=0}(\lambda_0-\lambda )^nx^{n+1}$ satisfait à (5) pour $|\lambda -\lambda_0| \cdot \|x\|<1$.