Bài tập 28, § 2

Cho $A$ là một đại số Banach phức có đơn vị, $\Delta$ là một tập con mở của $\mathbf{C}$ và $\lambda \mapsto R(\lambda )$ là một ánh xạ từ $\Delta$ vào $A$ sao cho

với mọi $\lambda , \mu\in \Delta$. (a) Cho $\lambda_0\in \Delta$. Với mọi $\lambda \in \Delta$ sao cho $|\lambda -\lambda_0| \cdot \|R(\lambda )\|<1$, ta có:

(b) Với mọi $\lambda \in \Delta$ và mọi số nguyên $n\geqslant 0$, ta có

$\frac{\partial^n}{\partial \lambda^n}R(\lambda ) = (-1)^nn$!R($\lambda$ )$^{n+1}$.

(c) Nếu R chỉnh hình tại vô cực, thì tồn tại $z, j, x\in A$ sao cho $z^2= 0$, $j^2=j,zj=jz= 0,x\in jAj$, và $R(\lambda ) =z+jR(\lambda , x)$ với $|\lambda |$ đủ lớn. (Viết $R(\lambda ) =\sum^{\infty}_{n=0}c_n\lambda^{-n}$ với $|\lambda |> \lambda_0$, và biểu thị rằng R thỏa mãn (5). Có thể đặt $c_0=z,c_1=j,c_2=x.$)

(d) Để tồn tại $a\in A$ sao cho R là hạn chế trên $\Delta$ của giải thức $\lambda \mapsto R(a, \lambda )$ của $a$, điều kiện cần và đủ là tồn tại $\lambda_0\in \Delta$ sao cho $R(\lambda_0)$ khả nghịch.

(e) Với mọi $x\in A$, hàm $\lambda \mapsto \sum^{\infty}_{n=0}(\lambda_0-\lambda )^nx^{n+1}$ thỏa mãn (5) với $|\lambda -\lambda_0| \cdot \|x\|<1$.