Exercice 29, § 2

a) Soient E un espace de Banach complexe, $f:\mathbf{C}\rightarrow E$ une fonction entière et $\theta \mapsto P(\theta ) =\sum^m_{\mu=k}c_\mu e^{\mu i\theta}$ un polynôme trigonométrique $(c_k\not= 0$). On suppose que $|P(\theta )| \cdot \|f(re^{i\theta})\|\leqslant Mr^{\alpha}$ pour $r\geqslant r_0($M$,r_0,\alpha$ étant des constantes $\geqslant 0$). Alors $f$ est un polynôme de degré $\leqslant \alpha$. (Soient $f(\zeta ) =$ $\sum^{\infty}_{\nu=0}a_{\nu}\zeta^{\nu}$, et

Calculer la limite de $J(r, p)$ quand $r\rightarrow +\infty$ de deux manières différentes pour $p > \alpha .)$

b) Avec les notations de a), si $\alpha$ est entier et si, pour tout $\theta \in \mathbf{R}$, on a

lim$_{r\rightarrow+\infty}r^{-\alpha}|P(\theta )| \|f(re^{i\theta}) = 0$,

alors $f$ est un polynôme de degré $< \alpha$.

c) Soient A une algèbre de Banach unifère complexe et $x$ un élément quasi-nilpotent de A. On suppose que, pour un certain entier $n >0$, et pour tout $\theta \in \mathbf{R}$, on a

lim$_{r\rightarrow+\infty}r^{-n}|$ cos$^n\theta | \cdot \|(1-re^{i\theta}x)^{-1}\|= 0$.

Alors $x^n= 0$. (Utiliser b).)