Bài tập 29, § 2

a) Cho E là một không gian Banach phức, $f:\mathbf{C}\rightarrow E$ là một hàm nguyên và $\theta \mapsto P(\theta ) =\sum^m_{\mu=k}c_\mu e^{\mu i\theta}$ là một đa thức lượng giác $(c_k\not= 0$). Giả sử rằng $|P(\theta )| \cdot \|f(re^{i\theta})\|\leqslant Mr^{\alpha}$ với $r\geqslant r_0($M$,r_0,\alpha$ là các hằng số $\geqslant 0$). Khi đó $f$ là một đa thức có bậc $\leqslant \alpha$. (Cho $f(\zeta ) =$ $\sum^{\infty}_{\nu=0}a_{\nu}\zeta^{\nu}$, và

Tính giới hạn của $J(r, p)$ khi $r\rightarrow +\infty$ theo hai cách khác nhau với $p > \alpha .)$

b) Với ký hiệu của a), nếu $\alpha$ là một số nguyên và nếu, với mọi $\theta \in \mathbf{R}$, ta có

lim$_{r\rightarrow+\infty}r^{-\alpha}|P(\theta )| \|f(re^{i\theta}) = 0$,

thì $f$ là một đa thức có bậc $< \alpha$.

c) Cho A là một đại số Banach phức có đơn vị và $x$ là một phần tử của A là tựa lũy linh. Giả sử rằng, với một số nguyên $n >0$ nào đó, và với mọi $\theta \in \mathbf{R}$, ta có

lim$_{r\rightarrow+\infty}r^{-n}|$ cos$^n\theta | \cdot \|(1-re^{i\theta}x)^{-1}\|= 0$.

Khi đó $x^n= 0$. (Dùng b).)