Exercice 3, § 2

Soit G un groupe égal à son groupe dérivé (A, I, p. 67). Pour tout $g\in G$, on note $\ell (g)$ le plus petit entier $k\geqslant 0$ tel qu’il existe des couples $(a_1, b_1)$, . . . , $(a_k, b_k)$ dans $G\times G$ vérifiant $g= [a_1, b_1]\cdots [a_k, b_k]$.

a) L’application $\ell$ est une distance sur G.

b) Pour tout $g\in G$, la limite

lsc($g$) $=$ lim$_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ell(g^n)}{n}$

existe. On l’appelle longueur stable des commutateurs de $g$. c) Soient S un ensemble et G = D(F(S)) le groupe dérivé du groupe libre engendré par S. Le groupe G est égal à son groupe dérivé, et pour tout $g\in G$, $g\not=e$, on a lsc($g$)$\geqslant 1/2$. Il existe $g\in G$ tel que lsc($g$) $= 1/2$.