Bài tập 3, § 2

Cho G là một nhóm bằng với nhóm dẫn xuất của nó (A, I, p. 67). Với mọi $g\in G$, ta chú ý $\ell (g)$ là số nguyên nhỏ nhất $k\geqslant 0$ sao cho tồn tại các cặp $(a_1, b_1)$, . . . , $(a_k, b_k)$ trong $G\times G$ thỏa mãn $g= [a_1, b_1]\cdots [a_k, b_k]$.

a) Ánh xạ $\ell$ là một khoảng cách trên G.

b) Với mọi $g\in G$, giới hạn

lsc($g$) $=$ lim$_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ell(g^n)}{n}$

tồn tại. Nó được gọi là độ dài ổn định của các giao hoán tử của $g$.

c) Cho S là một tập hợp và cho G = D(F(S)) là nhóm dẫn xuất của nhóm tự do sinh bởi S. Nhóm G bằng với nhóm dẫn xuất của nó, và với mọi $g\in G$, $g\not=e$, ta có lsc($g$)$\geqslant 1/2$. Tồn tại $g\in G$ sao cho lsc($g$) $= 1/2$.