Exercice 30, § 2

a) Soient E un espace de Banach complexe et $x:\mathbf{C}-\{1\} \rightarrow E$ une fonction entière de $1/(\zeta -1)$. On note $x(\zeta ) =\sum^{\infty}_{n=0}a_n\zeta^n,x(\zeta ) =\sum^{\infty}_{n=0}b_n\zeta^{-n}$ les développements de $x$ pour $|\zeta |<1,|\zeta |>1$ respectivement. On suppose qu’il existe $\alpha >0$ tel que $\|a_n\|=o(n^{\alpha}),\|b_n\|=o(n^{\alpha})$. Alors $x(\zeta )$ est un polynôme en $1/(\zeta -1)$ de degré $< \alpha + 1$. (Soit $\varepsilon >0$. On a $\|x(\zeta )\|\leqslant \varepsilon (1-r)^{-1-\alpha}$ pour $r_{\varepsilon}\leqslant r=|\zeta |<1,\|x(\zeta )\|\leqslant \varepsilon (1-r^{-1})^{-1-\alpha}$ pour $1< r\leqslant r'_{\varepsilon}$. Posant $1-\zeta = (\omega +\frac{1}{2})^{-1},\omega = Re^{i\theta}$, montrer que, pour $0\leqslant r <1$ et $R\geqslant 1$, on a

$(1-r)^{-1}\leqslant \frac{9}{4}$ cos$R\theta$

et que, pour $1< r$ et $R\geqslant 1$,

$(1-r^{-1})^{-1}\leqslant \frac{9}{4}$ cos$R\theta$.

Poser $y(\omega ) =x(\zeta )$ et montrer que $R^{-\alpha-1}|$cos$\theta |^{\alpha+1}\|y(Re^{i\theta})\|$ tend vers 0 quand R tend vers $+\infty$, uniformément en $\theta$. Appliquer alors l’exerc. 29, b).)

Soient A une algèbre de Banach unifère complexe, $q\in A$ un élément quasi-nilpotent et $x= 1 +q$.

b) Pour que $q^N= 0$, il faut et il suffit que $\|x^{\pm n}\|=o(n^N)$ quand $n$ tend vers $+\infty$. (Pour voir que la condition est suffisante, montrer, en appliquant a), que $R(\lambda , x)$ est un polynôme en $1/(\lambda -1)$ de degré $\leqslant N$. D’autre part, $R(\lambda , x) =$ $\sum^{\infty}_{n=0}q^n(\lambda -1)^{-n-1}.)$

c) Soient R le radical de A et G un sous-groupe du groupe des éléments inversibles de A. Si, pour tout $x\in G$, on a $\|x^n\|=o(n),\|x^{-n}\|=o(n)$ pour $n\rightarrow +\infty$, alors la restriction à G de l’application canonique $A\rightarrow A/R$ est injective.