Bài tập 30, § 2

a) Cho $E$ là một không gian Banach phức và $x:\mathbf{C}-\{1\} \rightarrow E$ là một hàm toàn thể theo $1/(\zeta -1)$. Ta ký hiệu bởi $x(\zeta ) =\sum^{\infty}_{n=0}a_n\zeta^n,x(\zeta ) =\sum^{\infty}_{n=0}b_n\zeta^{-n}$ các khai triển của $x$ tương ứng với $|\zeta |<1,|\zeta |>1$. Giả sử rằng tồn tại $\alpha >0$ sao cho $\|a_n\|=o(n^{\alpha}),\|b_n\|=o(n^{\alpha})$. Khi đó $x(\zeta )$ là một đa thức theo $1/(\zeta -1)$ có bậc $< \alpha + 1$. (Cho $\varepsilon >0$. Ta có $\|x(\zeta )\|\leqslant \varepsilon (1-r)^{-1-\alpha}$ với $r_{\varepsilon}\leqslant r=|\zeta |<1,\|x(\zeta )\|\leqslant \varepsilon (1-r^{-1})^{-1-\alpha}$ với $1< r\leqslant r'_{\varepsilon}$. Đặt $1-\zeta = (\omega +\frac{1}{2})^{-1},\omega = Re^{i\theta}$, bây giờ chứng minh rằng, với $0\leqslant r <1$ và $R\geqslant 1$, ta có

$(1-r)^{-1}\leqslant \frac{9}{4}$ cos$R\theta$

và rằng, với $1< r$ và $R\geqslant 1$,

$(1-r^{-1})^{-1}\leqslant \frac{9}{4}$ cos$R\theta$.

Đặt $y(\omega ) =x(\zeta )$ và bây giờ chứng minh rằng $R^{-\alpha-1}|$cos$\theta |^{\alpha+1}\|y(Re^{i\theta})\|$ tiến tới 0 khi R tiến tới $+\infty$, đều theo $\theta$. Áp dụng sau đó Bài tập 29, b).)

Cho A là một đại số Banach phức có đơn vị, $q\in A$ là một phần tử gần lũy linh và $x= 1 +q$.

b) Để có $q^N= 0$, điều kiện cần và đủ là $\|x^{\pm n}\|=o(n^N)$ khi $n$ tiến tới $+\infty$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, bây giờ chứng minh, bằng cách áp dụng a), rằng $R(\lambda , x)$ là một đa thức theo $1/(\lambda -1)$ có bậc $\leqslant N$. Mặt khác, $R(\lambda , x) =$ $\sum^{\infty}_{n=0}q^n(\lambda -1)^{-n-1}$.)

c) Cho R là căn của A và G là một nhóm con của nhóm các phần tử khả nghịch của A. Nếu, với mọi $x\in G$, ta có $\|x^n\|=o(n),\|x^{-n}\|=o(n)$ với $n\rightarrow +\infty$, thì hạn chế vào G của ánh xạ chính tắc $A\rightarrow A/R$ là đơn ánh.