Exercice 31, § 2

a) Soient A une algèbre normée, et $x, y$ deux éléments de A tels que $xy-yx=y$. Démontrer que $y^n= 0$ pour $n >2\|x\|$. (Utiliser la formule $xy^n-y^nx=ny^n$).

b) Soit $\mathfrak{L}$ une algèbre de Lie de dimension finie sur $\mathbf{C}$. Démontrer que, si $\mathfrak{L}$ n’est pas nilpotente, elle contient deux éléments $x, y$ non nuls tels que $[x, y] =y$. (Utiliser le fait qu’il existe un $x\in \mathfrak{L}$ tel que ad($x$) soit non nilpotent.)

c) Soit $\mathfrak{L}$ une algèbre de Lie réelle ou complexe de dimension finie telle que l’algèbre enveloppante de $\mathfrak{L}$ possède une norme compatible avec sa structure d’algèbre. Démontrer que $\mathfrak{L}$ est nilpotente. (Utiliser a) et b).)

d) Soient V un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie, $\mathfrak{L}$ une sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{g}l(V)$ formée d’endomorphismes nilpotents, et $x_1, . . . , x_n$ des éléments de $\mathfrak{L}$. Soit $\alpha >0$. Démontrer qu’il existe une structure d’espace hilbertien sur V telle que $\|x_i\|\leqslant \alpha$ pour $1\leqslant i\leqslant n$.

e) Soient $\mathfrak{L}$ une algèbre de Lie réelle ou complexe, de dimension finie, nilpotente, et U son algèbre enveloppante. Démontrer qu’il existe sur U une norme compatible avec sa structure d’algèbre. (En utilisant la méthode de LIE, I, §3, exerc. 5 et §7, exerc. 3, montrer qu’il existe une famille $(\pi_{\lambda})$ de représentations de $\mathfrak{L}$ dans des espaces $V_{\lambda}$ de dimension finie, ayant la propriété suivante : pour tout $u\in U$, il existe un $\lambda$ tel que $\pi_{\lambda}(u)\not= 0$, et $\pi_{\lambda}(\mathfrak{L})$ est formé pour tout $\lambda$ d’endomorphismes nilpotents. En munissant chaque $V_{\lambda}$ d’une structure hilbertienne fournie par d), on obtient dans l’espace hilbertien V somme hilbertienne des $V_{\lambda}$ une représentation $\pi$ de $\mathfrak{L}$ par des endomorphismes continus, d’où un morphisme injectif $\varphi$ de U dans $\mathscr{L}(V)$. Poser $\|u\|_U=\|\varphi (u)\|$ pour tout $u\in U$).

f) Soient A une algèbre normée unifère complexe $x$ et $y$ des éléments de A. Si $A\not=\{0\}$, on a $xy-yx\not= 1$. (Première démonstration : on a Sp$'_A(xy) =$ Sp$'_A(yx)$; si $xy=yx+ 1$, alors Sp$_A(xy)$ se déduit de Sp$_A(yx)$ par la translation $z\mapsto z+ 1$; en déduire que Sp$_A(xy)$ est non borné, ce qui est absurde. Deuxième démonstration : si $[x, y] = 1$, on a $[xy, y] =y$, d’où $y^n= 0$ pour $n$ assez grand d’après a) ; comme $[x, y^p] =py^{p-1}$ en déduire que $y= 0$).