Bài tập 31, § 2

a) Cho A là một đại số chuẩn, và $x, y$ là hai phần tử của A sao cho $xy-yx=y$. Chứng minh rằng $y^n= 0$ với $n >2\|x\|$. (Dùng công thức $xy^n-y^nx=ny^n$).

b) Cho $\mathfrak{L}$ là một đại số Lie hữu hạn chiều trên $\mathbf{C}$. Chứng minh rằng, nếu $\mathfrak{L}$ không lũy linh, thì nó chứa hai phần tử khác không $x, y$ sao cho $[x, y] =y$. (Dùng sự kiện rằng tồn tại một phần tử $x\in \mathfrak{L}$ sao cho ad($x$) không lũy linh.)

c) Cho $\mathfrak{L}$ là một đại số Lie thực hoặc phức hữu hạn chiều sao cho đại số bao của $\mathfrak{L}$ có một chuẩn tương thích với cấu trúc đại số của nó. Chứng minh rằng $\mathfrak{L}$ là lũy linh. (Dùng a) và b).)

d) Cho V là một không gian vectơ thực hoặc phức hữu hạn chiều, $\mathfrak{L}$ là một đại số con Lie của $\mathfrak{g}l(V)$ gồm các tự đồng cấu lũy linh, và $x_1, . . . , x_n$ là các phần tử của $\mathfrak{L}$. Cho $\alpha >0$. Chứng minh rằng tồn tại một cấu trúc không gian Hilbert trên V sao cho $\|x_i\|\leqslant \alpha$ với $1\leqslant i\leqslant n$.

e) Cho $\mathfrak{L}$ là một đại số Lie lũy linh thực hoặc phức hữu hạn chiều, và U là đại số bao của nó. Chứng minh rằng tồn tại trên U một chuẩn tương thích với cấu trúc đại số của nó. (Dùng phương pháp của LIE, I, §3, exerc. 5 và §7, exerc. 3, hãy chỉ ra rằng tồn tại một họ $(\pi_{\lambda})$ các biểu diễn của $\mathfrak{L}$ trong các không gian hữu hạn chiều $V_{\lambda}$, có tính chất sau: với mọi $u\in U$, tồn tại một $\lambda$ sao cho $\pi_{\lambda}(u)\not= 0$, và $\pi_{\lambda}(\mathfrak{L})$ gồm, với mọi $\lambda$, các tự đồng cấu lũy linh. Bằng cách trang bị cho mỗi $V_{\lambda}$ một cấu trúc không gian Hilbert nhận được từ d), ta thu được trong không gian Hilbert V là tổng Hilbert của các $V_{\lambda}$ một biểu diễn $\pi$ của $\mathfrak{L}$ bởi các tự đồng cấu liên tục, do đó có một cấu xạ đơn ánh $\varphi$ từ U vào $\mathscr{L}(V)$. Đặt $\|u\|_U=\|\varphi (u)\|$ với mọi $u\in U$).

f) Cho A là một đại số chuẩn phức có đơn vị, $x$ và $y$ là các phần tử của A. Nếu $A\not=\{0\}$, ta có $xy-yx\not= 1$. (Chứng minh thứ nhất: ta có Sp$'_A(xy) =$ Sp$'_A(yx)$; nếu $xy=yx+ 1$, thì Sp$_A(xy)$ được suy ra từ Sp$_A(yx)$ bởi phép tịnh tiến $z\mapsto z+ 1$; suy ra rằng Sp$_A(xy)$ không bị chặn, điều này là vô lý. Chứng minh thứ hai: nếu $[x, y] = 1$, thì $[xy, y] =y$, do đó $y^n= 0$ với $n$ đủ lớn theo a) ; vì $[x, y^p] =py^{p-1}$ hãy suy ra rằng $y= 0$).