Exercice 33, § 2

Soit A une algèbre de Banach unifère commutative sur $\mathbf{C}$. On suppose que tout idéal fermé I de A est de type fini (c’est-à-dire qu’il existe $n\in \mathbf{N}$ et $x_1, . . . , x_n\in A$ tels que $I = Ax_1+\cdots + Ax_n$).

a) Tout idéal I de A est fermé. (Écrivons $I = Ax_1+\cdots +Ax_n$ avec $x_1, . . . , x_n$ dans A. Soit $(x_{ip})_{p\geqslant 1}$ une suite d’éléments de I tendant vers $x_i$. Pour tout $(y_1, . . . , y_n)\in A^n$ et tout $p\geqslant 1$, on pose

On a $\varphi \in \mathscr{L}(A^n,I),\varphi_p\in \mathscr{L}(A^n,I),\|\varphi -\varphi_p\|$ tend vers 0 quand $p$ tend vers $+\infty$, et $\varphi$ est surjectif. En déduire que $\varphi_p$ est surjectif pour $p$ assez grand, en considérant les transposés de $\varphi$ et $\varphi_p$. Donc I = I.)

b) Si A est intègre, $A =\mathbf{C}\cdot 1$. (Utiliser a) et l’exerc. 15.)

c) Si le seul élément nilpotent de A est 0, il existe un entier $n\geqslant 0$ tel que A soit isomorphe à $\mathbf{C}^n$. (Puisque A est nœthérien, $\{0\}$ est intersection d’idéaux premiers $\mathfrak{p}_1, . . . ,\mathfrak{p}_m$; ceux-ci sont fermés d’après a), et les algèbres $A/\mathfrak{p}_i$ sont isomorphes à $\mathbf{C}$ d’après b).)

d) On a dim$_{\mathbf{C}}A<+\infty$. (Soit N l’ensemble des éléments nilpotents de A, qui est un idéal (fermé) de A. Alors dim(A$/N$)$<+\infty$ d’après c). Comme N est un idéal de type fini, $N^n= 0$ pour $n$ assez grand. Enfin, chaque $N^i/N^{i+1}$ est un module de type fini sur $A/N$, donc dim(N$^i/N^{i+1}$)$<+\infty .)$