Bài tập 33, § 2

Cho $A$ là một đại số Banach giao hoán có đơn vị trên $\mathbf{C}$. Giả sử rằng mọi iđêan đóng I của A đều sinh hữu hạn (nghĩa là, tồn tại $n\in \mathbf{N}$ và $x_1, . . . , x_n\in A$ sao cho $I = Ax_1+\cdots + Ax_n$).

a) Mọi iđêan I của A đều đóng. (Viết $I = Ax_1+\cdots +Ax_n$ với $x_1, . . . , x_n$ thuộc A. Cho $(x_{ip})_{p\geqslant 1}$ là một dãy các phần tử của I hội tụ tới $x_i$. Với mọi $(y_1, . . . , y_n)\in A^n$ và mọi $p\geqslant 1$, đặt

Ta có $\varphi \in \mathscr{L}(A^n,I),\varphi_p\in \mathscr{L}(A^n,I),\|\varphi -\varphi_p\|$ tiến tới 0 khi $p$ tiến tới $+\infty$, và $\varphi$ là toàn ánh. Suy ra rằng $\varphi_p$ là toàn ánh với $p$ đủ lớn, bằng cách xét các ánh xạ chuyển vị của $\varphi$ và $\varphi_p$. Do đó I = I.)

b) Nếu A là nguyên, $A =\mathbf{C}\cdot 1$. (Sử dụng a) và Bài tập 15.)

c) Nếu phần tử lũy linh duy nhất của A là 0, tồn tại một số nguyên $n\geqslant 0$ sao cho A đẳng cấu với $\mathbf{C}^n$. (Vì A là Noether, $\{0\}$ là giao của các iđêan nguyên tố $\mathfrak{p}_1, . . . ,\mathfrak{p}_m$; các iđêan này đóng theo a), và các đại số $A/\mathfrak{p}_i$ đẳng cấu với $\mathbf{C}$ theo b).)

d) Ta có dim$_{\mathbf{C}}A<+\infty$. (Cho N là tập hợp các phần tử lũy linh của A, đây là một iđêan (đóng) của A. Khi đó dim(A$/N$)$<+\infty$ theo c). Vì N là một iđêan sinh hữu hạn, $N^n= 0$ với $n$ đủ lớn. Cuối cùng, mỗi $N^i/N^{i+1}$ là một môđun sinh hữu hạn trên $A/N$, do đó dim(N$^i/N^{i+1}$)$<+\infty$.)