Exercice 34, § 2

Soit A une algèbre unifère sur $\mathbf{C}$, munie d’une topologie localement convexe séparée telle que la multiplication dans A soit séparément continue. Un élément $a\in A$ est dit régulier s’il existe $r\geqslant 0$ tel que $a-\lambda$ soit inversible pour $|\lambda |\geqslant r$, et tel que l’ensemble des $(a-\lambda )^{-1}$, pour $|\lambda |\geqslant r$, soit borné.

a) Si $a$ est régulier, $\lambda (a-\lambda )^{-1}$ reste borné pour $|\lambda |\geqslant r$.

b) Si l’application $x\mapsto x^{-1}$ est définie dans un voisinage de 1 et continue au point 1, tout élément de A est régulier.

c) Pour tout $a\in A$, soit $U_a$ l’ensemble des $\lambda \in \mathbf{C}$ tels que $(a-\mu)^{-1}$ existe et soit borné pour tous les $\mu$ d’un voisinage de $\lambda$. Soit $S_a=\mathbf{C}-U_a$. Alors $S_a$ est fermé ; et, si $a$ est régulier, $S_a$ est compact non vide (pourvu que $A\not=\{0\}$).

d) Soit $a\in A$. La fonction $\lambda \mapsto (a-\lambda )^{-1}$ est holomorphe dans $U_a$.

e) Soit $a\in A$. Pour que $\lambda \in U_a$, il faut et il suffit que $a-\lambda$ possède un inverse régulier.

f) Si tout élément de A est régulier, et si A est un corps, on a $A =\mathbf{C}\cdot 1$.