Bài tập 34, § 2

Cho A là một đại số có đơn vị trên $\mathbf{C}$, được trang bị một tôpô lồi địa phương tách sao cho phép nhân trong A là liên tục riêng. Một phần tử $a\in A$ được gọi là chính quy nếu tồn tại $r\geqslant 0$ sao cho $a-\lambda$ là khả nghịch với $|\lambda |\geqslant r$, và sao cho tập hợp các $(a-\lambda )^{-1}$, với $|\lambda |\geqslant r$, là bị chặn.

a) Nếu $a$ là chính quy, $\lambda (a-\lambda )^{-1}$ vẫn bị chặn với $|\lambda |\geqslant r$.

b) Nếu ánh xạ $x\mapsto x^{-1}$ được xác định trong một lân cận của 1 và liên tục tại điểm 1, thì mọi phần tử của A đều là chính quy.

c) Với mọi $a\in A$, gọi $U_a$ là tập hợp các $\lambda \in \mathbf{C}$ sao cho $(a-\mu)^{-1}$ tồn tại và bị chặn với mọi $\mu$ trong một lân cận của $\lambda$. Đặt $S_a=\mathbf{C}-U_a$. Khi đó $S_a$ là đóng; và, nếu $a$ là chính quy, thì $S_a$ là compact khác rỗng (với điều kiện $A\not=\{0\}$).

d) Cho $a\in A$. Hàm $\lambda \mapsto (a-\lambda )^{-1}$ là chỉnh hình trên $U_a$.

e) Cho $a\in A$. Với $\lambda \in U_a$, điều kiện cần và đủ là $a-\lambda$ có một nghịch đảo chính quy.

f) Nếu mọi phần tử của A đều là chính quy, và nếu A là một trường, thì ta có $A =\mathbf{C}\cdot 1$.