Exercice 35, § 2

Soit A une algèbre sur $\mathbf{R}$ qui soit un corps, munie d’une topologie localement convexe séparée telle que la multiplication dans A soit continue, et telle que l’application $x\mapsto x^{-1}$ soit continue en 1. Alors A est $\mathbf{R}$-isomorphe soit à $\mathbf{R}$, soit à $\mathbf{C}$, soit au corps des quaternions $\mathbf{H}$. (Si A est commutative et qu’il existe $u\in A$ avec $u^2=-1$, munir A d’une structure d’algèbre sur $\mathbf{C}$, et appliquer l’exerc. 34, f).) Si A est commutative et qu’il n’existe pas d’élément $u\in A$ tel que $u^2=-1$, appliquer l’exerc. 34, f ) au corps $A\otimes_{\mathbf{R}}\mathbf{C}$. Si A est non commutative, raisonner comme dans AC, VI, §6, n$^o4$, th. 1, troisième cas.)