Exercice 36, § 2

Soit A l’algèbre sur $\mathbf{C}$ formée des restrictions à $[0,1]$ des fonctions rationnelles en une variable à coefficients complexes. Cette algèbre est un corps.

a) On munit A de la topologie de la convergence en mesure (INT, IV, §5, n$^o11$). Alors les applications $(x, y)\mapsto x+y$ et $(x, y)\mapsto xy$ de $A\times A$ dans A sont continues, et l’application $x\mapsto x^{-1}$ de $A^*$ dans A est continue. La topologie de A n’est pas localement convexe.

b) Pour $n\in \mathbf{N}^*$, on définit la suite $(w_{r,n})_{r\in\mathbf{Z}}$ par $w_{r,n}= (-r+ 1)^{n(-r+1)}$ si $r <0,w_{0,n}= 1$ et $w_{r,n}= (r+ 1)^{-(r+1)/n}$ si $r >0$. Si $f\in A$, on pose $p_n(f) =\sum_rw_{r,n}|a_r|<+\infty$, où $\sum a_rt^r$ est le développement de Laurent de $f(t)$ en 0. Alors les $p_n$ sont des semi-normes qui définissent sur A une topologie localement convexe métrisable. L’application $(x, y)\mapsto xy$ de $A\times A$ dans A est continue. L’application $x\mapsto x^{-1}$ de $A^*$ dans A n’est pas continue. L’algèbre A n’est pas complète pour cette topologie.