Bài tập 36, § 2

Cho A là đại số trên $\mathbf{C}$ được tạo bởi các hạn chế lên $[0,1]$ của các hàm hữu tỉ theo một biến với hệ số phức. Đại số này là một trường.

a) Ta trang bị cho A tôpô hội tụ theo độ đo (INT, IV, §5, n$^o11$). Khi đó các ánh xạ $(x, y)\mapsto x+y$ và $(x, y)\mapsto xy$ từ $A\times A$ vào A đều liên tục, và ánh xạ $x\mapsto x^{-1}$ từ $A^*$ vào A là liên tục. Tôpô của A không lồi địa phương.

b) Với $n\in \mathbf{N}^*$, ta định nghĩa dãy $(w_{r,n})_{r\in\mathbf{Z}}$ bởi $w_{r,n}= (-r+ 1)^{n(-r+1)}$ nếu $r <0,w_{0,n}= 1$ và $w_{r,n}= (r+ 1)^{-(r+1)/n}$ nếu $r >0$. Nếu $f\in A$, ta đặt $p_n(f) =\sum_rw_{r,n}|a_r|<+\infty$, trong đó $\sum a_rt^r$ là khai triển Laurent của $f(t)$ tại 0. Khi đó các $p_n$ là những nửa chuẩn xác định trên A một tôpô lồi địa phương khả mê. Ánh xạ $(x, y)\mapsto xy$ từ $A\times A$ vào A là liên tục. Ánh xạ $x\mapsto x^{-1}$ từ $A^*$ vào A không liên tục. Đại số A không đầy đủ đối với tôpô này.