Exercice 37, § 2

a) Soit A une algèbre sur $\mathbf{C}$ munie d’une topologie localement convexe. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) il existe un système fondamental $(U_i)$ de voisinages convexes équilibrés de 0 tels que $U_iU_i\subset U_i$ pour tout $i$;

(ii) A est isomorphe à une sous-algèbre d’un produit d’algèbres normées ;

(iii) la topologie de A peut être définie par une famille de semi-normes $p_i$ vérifiant $p_i(xy)\leqslant p_i(x)p_i(y)$ quels que soient $x, y\in A$.

Si A vérifie ces conditions, on dit que A est localement $m$-convexe.

b) Soit A une algèbre localement $m$-convexe. L’application $(x, y)\mapsto xy$ de $A\times A$ dans A est continue. Si A est unifère, et si G désigne l’ensemble des éléments inversibles de A, alors l’application $x\mapsto x^{-1}$ de G dans A est continue.

c) Soit A une algèbre unifère localement $m$-convexe. Le spectre de tout élément de A est non vide. Si A est un corps, alors $A =\mathbf{C}\cdot 1$.

d) Soit A une algèbre localement $m$-convexe complète. Il existe un ensemble ordonné filtrant croissant I, une famille $(A_i)_{i\in I}$ d’algèbres de Banach, des morphismes continus $\pi_{ij}: A_j\mapsto A_i$ pour $i\leqslant j$, avec $\pi_{ij}\circ \pi_{jk}=\pi_{ik}$, tels que A soit isomorphe à la sous-algèbre de $\prod_iA_i$ formée des $(x_i)$ tels que $\pi_{ij}(x_j) =x_i$ pour $i\leqslant j$.

e) L’algèbre $\mathscr{C}_{\mathbf{C}}(\mathbf{R})$, munie de la topologie de la convergence compacte, est localement $m$-convexe. L’ensemble des éléments inversibles de $\mathscr{C}_{\mathbf{C}}(\mathbf{R})$ est dense dans $\mathscr{C}_{\mathbf{C}}(\mathbf{R})$; il n’est pas ouvert.

f) Soient D une partie ouverte de $\mathbf{C}$ et A l’algèbre des fonctions complexes holomorphes dans D, munie de la topologie de la convergence compacte. Alors A est localement $m$-convexe. L’ensemble des éléments inversibles de A est fermé.

g) L’algèbre des fonctions complexes indéfiniment dérivables sur $[0,1]$, munie de la topologie de la convergence uniforme de chaque dérivée, est localement $m$-convexe.

h) Soit A l’algèbre des (classes de) fonctions complexes $f$ sur $[0,1]$ telles que $f\in L^p([0,1])$ pour tout $p >1$. Munie de la topologie définie par la famille de semi-normes $f\mapsto \|f\|_p(p >1)$, A n’est pas localement $m$-convexe. L’application $(x, y)\mapsto xy$ de $A\times A$ dans A est continue.