Bài tập 37, § 2

a) Cho A là một đại số trên $\mathbf{C}$ được trang bị một tôpô lồi địa phương. Các điều kiện sau là tương đương:

(i) tồn tại một hệ cơ bản $(U_i)$ các lân cận lồi cân bằng của 0 sao cho $U_iU_i\subset U_i$ với mọi $i$;

(ii) A đẳng cấu với một đại số con của một tích các đại số định chuẩn;

(iii) tôpô của A có thể được xác định bởi một họ các nửa chuẩn $p_i$ thỏa mãn $p_i(xy)\leqslant p_i(x)p_i(y)$ với mọi $x, y\in A$.

Nếu A thỏa mãn các điều kiện này, thì A được gọi là lồi $m$-địa phương.

b) Cho A là một đại số lồi $m$-địa phương. Ánh xạ $(x, y)\mapsto xy$ từ $A\times A$ vào A là liên tục. Nếu A có đơn vị, và nếu G ký hiệu tập hợp các phần tử khả nghịch của A, thì ánh xạ $x\mapsto x^{-1}$ từ G vào A là liên tục.

c) Cho A là một đại số lồi $m$-địa phương có đơn vị. Phổ của mọi phần tử của A là khác rỗng. Nếu A là một trường, thì $A =\mathbf{C}\cdot 1$.

d) Cho A là một đại số lồi $m$-địa phương đầy đủ. Tồn tại một tập hợp lọc có thứ tự tăng I, một họ $(A_i)_{i\in I}$ các đại số Banach, các đồng cấu liên tục $\pi_{ij}: A_j\mapsto A_i$ với $i\leqslant j$, thỏa mãn $\pi_{ij}\circ \pi_{jk}=\pi_{ik}$, sao cho A đẳng cấu với đại số con của $\prod_iA_i$ tạo bởi các $(x_i)$ sao cho $\pi_{ij}(x_j) =x_i$ với $i\leqslant j$.

e) Đại số $\mathscr{C}_{\mathbf{C}}(\mathbf{R})$, được trang bị tôpô hội tụ compact, là lồi $m$-địa phương. Tập hợp các phần tử khả nghịch của $\mathscr{C}_{\mathbf{C}}(\mathbf{R})$ là trù mật trong $\mathscr{C}_{\mathbf{C}}(\mathbf{R})$; nó không mở.

f) Cho D là một tập con mở của $\mathbf{C}$ và A là đại số các hàm chỉnh hình phức trong D, được trang bị tôpô hội tụ compact. Khi đó A là lồi $m$-địa phương. Tập hợp các phần tử khả nghịch của A là đóng.

g) Đại số các hàm phức khả vi vô hạn trên $[0,1]$, được trang bị tôpô hội tụ đều của từng đạo hàm, là lồi $m$-địa phương.

h) Cho A là đại số các hàm phức $f$ (các lớp của các hàm) trên $[0,1]$ sao cho $f\in L^p([0,1])$ với mọi $p >1$. Được trang bị tôpô xác định bởi họ các nửa chuẩn $f\mapsto \|f\|_p(p >1)$, A không là lồi $m$-địa phương. Ánh xạ $(x, y)\mapsto xy$ từ $A\times A$ vào A là liên tục.