Exercice 5, § 2

Soient A un anneau commutatif et $n\geqslant 1$ un entier. Pour une matrice $M = (m_{i,j})$ de type $(n, n)$ à coefficients dans A, on appelle permanent de M l’élément

per(M) $=\sum_{\sigma\in S_n}m_{1,\sigma(1)}\cdots m_{n,\sigma(n)}$

de A.

Soit $k\geqslant 1$ un entier. On note $X_{n,k}$ l’ensemble des matrices M de type $(n, n)$ à coefficients réels telles que chaque colonne de M contient $k$ coefficients égaux à 1, tous les autres étant nuls.

Montrer que la limite

lim$_{n\rightarrow+\infty}($inf$_{M\in X_{n,k}}$ per(M)$)^{1/n}$

existe.