Bài tập 5, § 2

Cho $A$ là một vành giao hoán và $n\geqslant 1$ là một số nguyên. Đối với một ma trận $M = (m_{i,j})$ thuộc kiểu $(n, n)$ với các hệ số trong A, permanent của M được gọi là phần tử

per(M) $=\sum_{\sigma\in S_n}m_{1,\sigma(1)}\cdots m_{n,\sigma(n)}$

của A.

Cho $k\geqslant 1$ là một số nguyên. Ta ký hiệu bởi $X_{n,k}$ tập hợp các ma trận M thuộc kiểu $(n, n)$ với các hệ số thực sao cho mỗi cột của M chứa $k$ hệ số bằng 1, còn tất cả các hệ số khác đều bằng không.

Bây giờ chứng minh rằng giới hạn

lim$_{n\rightarrow+\infty}($inf$_{M\in X_{n,k}}$ per(M)$)^{1/n}$

tồn tại.