Exercice 7, § 2

Soit A une algèbre normée.

a) Soit S une partie bornée non vide de A. Montrer que la limite

$\varrho (S) =$ lim$_{n\rightarrow+\infty}$ sup$_{x\in S^n}\|x\|^{1/n}$

existe et que $\varrho (S) =\varrho (x)$ si S est réduite à un seul élément $x$. On dit que $\varrho (S)$ est le rayon spectral de la partie S.

b) Soit N l’ensemble des normes $p$ sur A, équivalentes à la norme de A, et telles que A, muni de $p$, est une algèbre normée. Soit X un sous-ensemble de A. Pour qu’il existe $p\in N$ tel que $p(x)\leqslant 1$ pour tout $x\in X$, il faut et il suffit qu’il existe un nombre réel $c\geqslant 0$ tel que

sup$_{n\geqslant 1}$ sup$_{x\in X^n}\|x\|\leqslant c$.

c) Montrer que

$\varrho (S) =$ inf$_{p\in}$sup$_{Nx\in S}p(x)$.