Bài tập 7, § 2

Cho $A$ là một đại số chuẩn.

(a) Cho $S$ là một tập con bị chặn khác rỗng của $A$. Chứng minh rằng giới hạn

$\varrho (S) =$ lim$_{n\rightarrow+\infty}$ sup$_{x\in S^n}\|x\|^{1/n}$

tồn tại và rằng $\varrho (S) =\varrho (x)$ nếu $S$ được rút gọn thành một phần tử duy nhất $x$. Số $\varrho (S)$ được gọi là bán kính phổ của tập con $S$.

(b) Cho $N$ là tập hợp các chuẩn $p$ trên $A$, tương đương với chuẩn của $A$, và sao cho $A$, được trang bị với $p$, là một đại số chuẩn. Cho $X$ là một tập con của $A$. Để tồn tại $p\in N$ sao cho $p(x)\leqslant 1$ với mọi $x\in X$, điều kiện cần và đủ là tồn tại một số thực $c\geqslant 0$ sao cho

sup$_{n\geqslant 1}$ sup$_{x\in X^n}\|x\|\leqslant c$.

(c) Chứng minh rằng

$\varrho (S) =$ inf$_{p\in}$sup$_{Nx\in S}p(x)$.