Exercice 12, § 3

Soient A une algèbre de Banach unifère et $(x_n)$ une suite d’éléments inversibles de A tendant vers un élément $x\in A$. Si la suite $(\varrho (x^{-1}_n))$ est bornée, et si $x_nx=xx_n$ pour tout $n$, alors $x$ est inversible. (D’après le cor. de la prop. 8 de I, p. 38$,\varrho (1-x^{-1}_nx)\leqslant \varrho (x^{-1}_n)\varrho (x_n-x)$, donc $x^{-1}_nx$ est inversible pour $n$ assez grand.)