Exercice 13, § 4

Soit $n\in \mathbf{N}$.

a) Une partie V de $\mathbf{C}^n$ est polynomialement convexe si et seulement si, pour tout $x\in \mathbf{C}^n-$ V, il existe une fonction entière $f:\mathbf{C}^n\rightarrow \mathbf{C}$ telle que

$|f(x)|>$ sup$_{y\in V}|f(y)|$.

b) Soit $K\subset \mathbf{R}^n$ une partie compacte. Alors K est polynomialement convexe dans $\mathbf{C}^n$.

c) Soient V une partie compacte polynomialement convexe de $\mathbf{C}^n$ et $f\in$ $\mathscr{O}(V)$. Alors le graphe de $f$ est polynomialement convexe dans $\mathbf{C}^{n+1}$. (Utiliser le théorème de Oka–Weil).