Exercice 2, § 4

Soient A une algèbre de Banach unifère et G le groupe des éléments inversibles de A.

a) Pour qu’un élément $x\in A$ soit de la forme exp($y$), où $y\in A$, il faut et il suffit qu’il soit contenu dans un sous-groupe connexe commutatif de G.

b) Pour qu’un élément $x\in A$ soit de la forme exp($y$), où $y\in A$, il suffit que 0 appartienne à la composante connexe non bornée de $\mathbf{C}-$ Sp$_A(x)$.