Exercice 9, § 4

Soient A une algèbre de Banach unifère, $x\in A$, U un voisinage ouvert de Sp$_A(x)$ n’ayant qu’un nombre fini de composantes connexes $U_i(i\in I)$, et $f\in \mathscr{O}(U)$. Pour que $f(x) = 0$, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient réalisées :

(i) pour tout $i$ tel que Sp$_A(x)\cap U_i$ soit infini ou contienne un point qui n’est pas un pôle de la résolvante, on a $f|U_i= 0$ ;

(ii) tout pôle d’ordre $p$ de la résolvante est un zéro d’ordre $\geqslant p$ de $f$. (Pour la nécessité de (ii), raisonner comme pour l’exerc. 8.)