Exercice 3, § 5

Soient A une algèbre de Banach commutative, $A'$ l’espace de Banach dual de A. Pour tout $x\in A$, soit $\kappa (x)$ l’opérateur linéaire dans $A'$ transposé de la multiplication par $x$ dans A. Pour $x\in A$ et $x'\in A'$, on note $x ? x'=$ $\kappa (x)(x')\in A'$. Un sous-espace vectoriel de $A'$ est dit invariant s’il est stable par tous les $\kappa (x)$.

a) Pour qu’un élément $x'$ de $A'$ soit proportionnel à un caractère non nul de A, il faut et il suffit que $\mathbf{C}x'$ soit invariant.

b) L’application $V\mapsto V^{\circ}$ est une bijection de l’ensemble des idéaux fermés de A sur l’ensemble des sous-espaces vectoriels invariants faiblement fermés de $A'$.

c) Si W est un sous-espace vectoriel invariant de $A'$, on note $\sigma (W)$ l’ensemble des caractères appartenant à W. Si $W_1$ et $W_2$ sont invariants faiblement fermés, et si W est le sous-espace vectoriel faiblement fermé engendré par $W_1$ et $W_2$, on a $\sigma (W) =\sigma (W_1)\cup \sigma (W_2)$. (Utiliser b).)

d) Soit W un sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de $A'$. Alors $\sigma (W)$ est l’ensemble des $\chi \in \widehat{A}$ tel que la condition $x*x'= 0$ pour tout $x'\in W$ entraîne $\chi (x) = 0$.

e) Si A admet un élément unité, tout sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de $A'$ contient un caractère non nul.

f) Dans la suite de cet exercice, on suppose que A est une algèbre régulière sans radical et unifère. Si W est un sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de $A'$ et U un voisinage de $\sigma (W)$ dans $\mathsf{X}(A)$, alors W est contenu dans le sous-espace vectoriel faiblement fermé de $A'$ engendré par U.

g) Soit $x'\in A'$ et W le sous-espace vectoriel invariant faiblement fermé de $A'$ engendré par $x'$. On pose $\sigma (x') =\sigma (W)$. Si $x\in A$ est tel que $\mathscr{G}x= 1$ sur un voisinage de $\sigma (x')$, alors $x ? x'=x'$. (Utiliser f).)

h) Si $\sigma (x')$ est réunion de deux ensembles fermés disjoints $\sigma_1$ et $\sigma_2$, il existe $x'_1, x'_2\in A'$ tels que $\sigma (x'_1) =\sigma_1,\sigma (x'_2) =\sigma_2$ et $x'=x'_1+x'_2$. (Poser $x'_1=u_1?x'$, $x'_2=u_2? x'$, avec $\mathscr{G}u_1= 1$ (resp. 0) au voisinage de $\sigma_1$ (resp. $\sigma_2$), et $\mathscr{G}u_2= 1$ (resp. 0) au voisinage de $\sigma_2$ (resp. $\sigma_1$)$.$)