Bài tập 3, § 5

Cho $A$ là một đại số Banach giao hoán, $A'$ là không gian Banach đối ngẫu của A. Với mọi $x\in A$, gọi $\kappa (x)$ là toán tử tuyến tính trên $A'$ chuyển vị của phép nhân bởi $x$ trong A. Với $x\in A$ và $x'\in A'$, ta ký hiệu $x ? x'=$ $\kappa (x)(x')\in A'$. Một không gian con vectơ của $A'$ được gọi là bất biến nếu nó ổn định dưới mọi $\kappa (x)$.

a) Để một phần tử $x'$ của $A'$ tỉ lệ với một đặc trưng khác không của A, điều kiện cần và đủ là $\mathbf{C}x'$ bất biến.

b) Ánh xạ $V\mapsto V^{\circ}$ là một song ánh từ tập hợp các iđêan đóng của A lên tập hợp các không gian con vectơ bất biến đóng yếu của $A'$.

c) Nếu W là một không gian con vectơ bất biến của $A'$, ta ký hiệu bởi $\sigma (W)$ tập hợp các đặc trưng thuộc W. Nếu $W_1$ và $W_2$ là các không gian con bất biến đóng yếu, và nếu W là không gian con vectơ đóng yếu của $A'$ được sinh bởi $W_1$ và $W_2$, thì ta có $\sigma (W) =\sigma (W_1)\cup \sigma (W_2)$. (Dùng b).)

d) Cho W là một không gian con vectơ bất biến đóng yếu của $A'$. Khi đó $\sigma (W)$ là tập hợp các $\chi \in \widehat{A}$ sao cho điều kiện $x*x'= 0$ với mọi $x'\in W$ suy ra $\chi (x) = 0$.

e) Nếu A có phần tử đơn vị, mọi không gian con vectơ bất biến đóng yếu của $A'$ đều chứa một đặc trưng khác không.

f) Trong phần còn lại của bài tập này, giả sử rằng A là một đại số chính quy không có căn và có đơn vị. Nếu W là một không gian con vectơ bất biến đóng yếu của $A'$ và U là một lân cận của $\sigma (W)$ trong $\mathsf{X}(A)$, thì W được chứa trong không gian con vectơ đóng yếu của $A'$ được sinh bởi U.

g) Cho $x'\in A'$ và W là không gian con vectơ bất biến đóng yếu của $A'$ được sinh bởi $x'$. Đặt $\sigma (x') =\sigma (W)$. Nếu $x\in A$ sao cho $\mathscr{G}x= 1$ trên một lân cận của $\sigma (x')$, thì $x ? x'=x'$. (Dùng f).)

h) Nếu $\sigma (x')$ là hợp của hai tập hợp đóng rời nhau $\sigma_1$ và $\sigma_2$, thì tồn tại $x'_1, x'_2\in A'$ sao cho $\sigma (x'_1) =\sigma_1,\sigma (x'_2) =\sigma_2$ và $x'=x'_1+x'_2$. (Đặt $x'_1=u_1?x'$, $x'_2=u_2? x'$, với $\mathscr{G}u_1= 1$ (tương ứng, 0) trên một lân cận của $\sigma_1$ (tương ứng, $\sigma_2$), và $\mathscr{G}u_2= 1$ (tương ứng, 0) trên một lân cận của $\sigma_2$ (tương ứng, $\sigma_1$)$.$)