Exercice 5, § 5

Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. On suppose que tout idéal fermé de A est intersection d’idéaux maximaux réguliers. Soit $x\in A$. Soit F l’ensemble des zéros de $\mathscr{G}'(x)$. Alors $x$ est limite d’éléments $u_nx$, où $u_n\in A$ et $\mathscr{G}(u_n)$ est nulle au voisinage de F. (Soit J l’ensemble des $y\in A$ tels que $\mathscr{G}(y)$ soit à support compact disjoint de F. On a $x\in \overline{J}$. Utiliser la prop. 4 de I, p. 91.) En particulier, A vérifie la condition de Ditkin.