Exercice 6, § 5

Soit B l’algèbre des fonctions complexes continûment dérivables sur $[0,1]$, munie de la norme $\|f\|=$ sup$|f|+$ sup$|f'|$. Soit A la sous-algèbre fermée de B formée des fonctions $f\in B$ telles que $f(\frac{1}{2})= 0$. Soit I l’idéal fermé de A formé des $f\in A$ tels que $f'(\frac{1}{2})= 0$.

a) L’espace $\mathsf{X}(A)$ s’identifie à $[0,1]-\{\frac{1}{2}\}$, et A est régulière.

b) L’idéal I est un idéal maximal de A non régulier.