Exercice 7, § 5

Soient R, $T_1,T_2$ les sous-ensembles formés de $\mathbf{C}^4$ formé des éléments $(z_1, z_2, z_3, z_4)\in \mathbf{C}^4$ tels que :

a) L’ensemble $X = R\cup T_1\cup T_2$ est polynomialement convexe. (Montrer que X est l’ensemble des $(z_1, z_2, z_3, z_4)$ tels que

$|z_4z^k_2|\leqslant 1$ et $|z^k_1(z_4-z_3^2)|\leqslant 1$ pour $k= 1,2, . . .)$.

b) Soit A la sous-algèbre fermée de $\mathscr{C}(X)$ engendrée par les restrictions à X des fonctions polynômes sur $\mathbf{C}^4$. Alors X s’identifie à $\mathsf{X}(A)$.

c) Soient $\Gamma_1,\Gamma_2\subset \mathbf{C}$ les cercles de centre 0 et de rayons 1, 2 orientés dans le sens positif. Soient $\mu_0, \mu_1, \nu$ les mesures sur $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_1$ définies par les formes différentielles $z^{-1}dz,-z^{-1}dz, z^{-2}dz$. Soit $\mu=\mu_0+\mu_1$, de sorte que $\mu\otimes \nu$ est une mesure sur $(\Gamma_1\cup \Gamma_2)\times \Gamma_1$. Soit B l’ensemble des $z= (z_1, z_2, z_3, z_4)\in X$ tels que $(z_1, z_3)\in (\Gamma_1\cup \Gamma_2)\times \Gamma_1$. L’application $\varphi :z\mapsto (z_1, z_3)$ de B dans $(\Gamma_1\cup \Gamma_2)\times \Gamma_1$ est un homéomorphisme. Soit $\nu$ la mesure $\varphi^{-1}(\mu\otimes \nu )$. Montrer que $\nu$ est orthogonale à A.

d) Soit $g$ la fonction sur X qui est nulle sur $R\cup T_1$ et égale à $z_3$ sur $T_2$. Alors $g \notin A$.

e) La fonction $g$ coïncide avec un élément de A au voisinage de tout $z\in X$.