Bài tập 7, § 5

Cho R, $T_1,T_2$ là các tập con của $\mathbf{C}^4$ gồm các phần tử $(z_1, z_2, z_3, z_4)\in \mathbf{C}^4$ sao cho:

a) Tập hợp $X = R\cup T_1\cup T_2$ là lồi đa thức. (Bây giờ chứng minh rằng X là tập hợp các $(z_1, z_2, z_3, z_4)$ sao cho

$|z_4z^k_2|\leqslant 1$ và $|z^k_1(z_4-z_3^2)|\leqslant 1$ với $k= 1,2, . . .)$.

b) Cho A là đại số con đóng của $\mathscr{C}(X)$ sinh bởi các hạn chế trên X của các hàm đa thức trên $\mathbf{C}^4$. Khi đó X được đồng nhất với $\mathsf{X}(A)$.

c) Cho $\Gamma_1,\Gamma_2\subset \mathbf{C}$ là các đường tròn có tâm 0 và bán kính 1, 2, được định hướng theo chiều dương. Cho $\mu_0, \mu_1, \nu$ là các độ đo trên $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_1$ được xác định bởi các dạng vi phân $z^{-1}dz,-z^{-1}dz, z^{-2}dz$. Đặt $\mu=\mu_0+\mu_1$, để $\mu\otimes \nu$ là một độ đo trên $(\Gamma_1\cup \Gamma_2)\times \Gamma_1$. Cho B là tập hợp các $z= (z_1, z_2, z_3, z_4)\in X$ sao cho $(z_1, z_3)\in (\Gamma_1\cup \Gamma_2)\times \Gamma_1$. Ánh xạ $\varphi :z\mapsto (z_1, z_3)$ từ B vào $(\Gamma_1\cup \Gamma_2)\times \Gamma_1$ là một đồng phôi. Cho $\nu$ là độ đo $\varphi^{-1}(\mu\otimes \nu )$. Bây giờ chứng minh rằng $\nu$ trực giao với A.

d) Cho $g$ là hàm trên X bằng không trên $R\cup T_1$ và bằng $z_3$ trên $T_2$. Khi đó $g \notin A$.

e) Hàm $g$ trùng với một phần tử của A trong một lân cận của mọi $z\in X$.