Exercice 11, § 6

Étiquette 02FE, permanente. À citer comme [Bourbaki, Tag 02FE].

Théories spectrales, I, p. 181

Soit A une algèbre de Banach involutive, dont l’involution vérifie $\|x^*x\|=\|x\| \cdot \|x^*\|$ pour tout $x\in A$ . Alors A est une algèbre stellaire. (On aSp $'_A(x^*) =$ Sp $\|y^2\frac{\| = \|}{_{'A}(x)}y\|$ pour tout $^2$ pour $yx$ hermitien, d’où $\in A$ , on a donc $\|y\|=\varrho (y)$ ; observant que

\|x^*\| \cdot \|x\|=\|x^*x\|=\varrho (x^*x)\leqslant \varrho (x^*)\varrho (x) =\varrho (x^2)\leqslant \|x\|^2

d’où $\|x^*\|\leqslant \|x\|$ et $\|x^*\|=\|x\|.)$

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