Exercice 13, § 6

Soient A une algèbre de Banach unifère sur $\mathbf{C},x\in A$, et S = Sp$_A(x)$. On suppose qu’il existe un morphisme $\varphi$ de $\mathscr{C}(S)$ dans A qui transforme 1 en 1 et $z$ en $x$, en désignant par $z$ l’application identique de S. Alors $\|\varphi (f)\|\geqslant \|f\|$ pour toute $f\in \mathscr{C}(S)$. En particulier, si le morphisme $\varphi$ est continu, alors $\varphi$ est un homéomorphisme sur son image. (On peut supposer A commutative. Soit $\lambda \in S$. Il existe $\chi \in \mathsf{X}(A)$ tel que $\lambda =\chi (x) =\chi (\varphi (z)) = (\mathsf{X}(\varphi )(\chi ))(z)$. Donc $\mathsf{X}(\varphi )(\chi )$ est le caractère $f\mapsto f(\lambda )$ de $\mathscr{C}(S)$. Soit $f\in \mathscr{C}(S)$. D’après ce qui précède, il existe $\chi \in \mathsf{X}(A)$ tel que $|f|$ atteigne son maximum en $\mathsf{X}(\varphi )(\chi )$. Alors $|\chi (\varphi (f))|=\|f\|$, donc $\|\varphi (f)\|\geqslant \|f\|.$)