Bài tập 13, § 6

Cho $A$ là một đại số Banach có đơn vị trên $\mathbf{C},x\in A$, và đặt S = Sp$_A(x)$. Giả sử tồn tại một cấu xạ $\varphi$ của $\mathscr{C}(S)$ vào A biến 1 thành 1 và $z$ thành $x$, trong đó ký hiệu $z$ là ánh xạ đồng nhất của S. Khi đó $\|\varphi (f)\|\geqslant \|f\|$ đối với mọi $f\in \mathscr{C}(S)$. Đặc biệt, nếu cấu xạ $\varphi$ liên tục, thì $\varphi$ là một đồng phôi lên ảnh của nó. (Ta có thể giả sử A giao hoán. Cho $\lambda \in S$. Tồn tại $\chi \in \mathsf{X}(A)$ sao cho $\lambda =\chi (x) =\chi (\varphi (z)) = (\mathsf{X}(\varphi )(\chi ))(z)$. Do đó $\mathsf{X}(\varphi )(\chi )$ là đặc trưng $f\mapsto f(\lambda )$ của $\mathscr{C}(S)$. Cho $f\in \mathscr{C}(S)$. Từ điều đã nêu trước đó, tồn tại $\chi \in \mathsf{X}(A)$ sao cho $|f|$ đạt giá trị cực đại của nó tại $\mathsf{X}(\varphi )(\chi )$. Khi đó $|\chi (\varphi (f))|=\|f\|$, do đó $\|\varphi (f)\|\geqslant \|f\|.$)