Exercice 16, § 6

Soit X un espace topologique. Soit $\mathscr{C}_b(X)$ l’algèbre stellaire commutative des fonctions continues bornées à valeurs complexes sur X.

a) Soit $\widehat{X} =\mathsf{X}(\mathscr{C}_b(X))$ ; l’espace $\widehat{X}$ est un espace compact tel que $\mathscr{C}(\widehat{X})$ s’identifie à $\mathscr{C}_b(X)$.

b) L’application $j: X\rightarrow \widehat{X}$ qui envoie $x$ sur le caractère $f\mapsto f(x)$ est continue.

c) Si X est complètement régulier (TG, IX, p. 8, déf. 4), l’application $j$ est un homéomorphisme de X sur un sous-espace dense de $\widehat{X}$. (Pour montrer que l’image de $j$ est dense dans $\widehat{X}$, montrer qu’une fonction complexe continue sur $\widehat{X}$ nulle sur $j(X)$ est identiquement nulle.)

d) L’espace $\widehat{X}$ s’identifie au compactifié de Stone–Čech de X (TG, IX, p. 9).