Bài tập 16, § 6

Cho X là một không gian tôpô. Gọi $\mathscr{C}_b(X)$ là đại số stellar giao hoán của các hàm phức liên tục bị chặn trên X.

a) Gọi $\widehat{X} =\mathsf{X}(\mathscr{C}_b(X))$ ; không gian $\widehat{X}$ là một không gian compact sao cho $\mathscr{C}(\widehat{X})$ được đồng nhất với $\mathscr{C}_b(X)$.

b) Ánh xạ $j: X\rightarrow \widehat{X}$ gửi $x$ tới đặc trưng $f\mapsto f(x)$ là liên tục.

c) Nếu X là hoàn toàn chính quy (TG, IX, p. 8, def. 4), thì ánh xạ $j$ là một đồng phôi từ X lên một không gian con trù mật của $\widehat{X}$. (Để chứng minh rằng ảnh của $j$ là trù mật trong $\widehat{X}$, hãy chứng minh rằng một hàm phức liên tục trên $\widehat{X}$ bằng không trên $j(X)$ thì đồng nhất bằng không.)

d) Không gian $\widehat{X}$ được đồng nhất với phép compact hóa Stone–Čech của X (TG, IX, p. 9).