Exercice 19, § 6

Soit A une algèbre stellaire. Un élément $x$ est dit systématiquement positif si $x\in A_+$ et si $xAx$ est dense dans A.

a) Montrer qu’une algèbre stellaire commutative A contient un élément systématiquement positif si, et seulement si, il existe un espace topologique X localement compact et dénombrable à l’infini X tel que A soit isomorphe à $\mathscr{C}_0(X)$.

b) Si A est unifère, alors un élément $x$ de A est systématiquement positif si, et seulement si, $x$ est positif et inversible.

c) Soit $x\in A$ un élément systématiquement positif tel que $\|x\|\leqslant 1$. Démontrer que la suite $(x^{1/n})_{n\geqslant 1}$ est une unité approchée croissante dans A. d) Une algèbre stellaire A contient un élément systématiquement positif si, et seulement si, il existe une suite $(x_n)_{n\geqslant 1}$ dans A qui forme une unité approchée de A.