Bài tập 19, § 6

Cho A là một đại số sao. Một phần tử $x$ được gọi là dương có hệ thống nếu $x\in A_+$ và nếu $xAx$ là trù mật trong A.

a) Bây giờ chứng minh rằng một đại số sao giao hoán A chứa một phần tử dương có hệ thống khi và chỉ khi tồn tại một không gian tôpô compact địa phương X đếm được tại vô cùng X sao cho A là đẳng cấu với $\mathscr{C}_0(X)$.

b) Nếu A có đơn vị, thì một phần tử $x$ của A là dương có hệ thống khi và chỉ khi $x$ là dương và khả nghịch.

c) Cho $x\in A$ là một phần tử dương có hệ thống sao cho $\|x\|\leqslant 1$. Chứng minh rằng dãy $(x^{1/n})_{n\geqslant 1}$ là một đơn vị xấp xỉ tăng trong A.

d) Một đại số sao A chứa một phần tử dương có hệ thống khi và chỉ khi tồn tại một dãy $(x_n)_{n\geqslant 1}$ trong A tạo thành một đơn vị xấp xỉ của A.