Exercice 23, § 6

Soit A une algèbre stellaire unifère. On note $A'_+$ l’espace vectoriel des formes linéaires $f$ sur A, non nécessairement continues, telles que

(« formes linéaires positives »).

a) Soit $f\in A'_+$. Pour toute suite $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ dans $A^{\leqslant 1}_+$, la famille $(f(x_n))$ est bornée. (Démontrer que la série $\sum_if(x_i)y_i$ converge pour toute famille positive $(y_i)$ dans $\ell^1(\mathbf{N})$.)

b) L’application linéaire $f$ est continue.

c) Une forme linéaire $f$ appartient à $A'_+$ si et seulement si $f$ est continue et $\|f\|=f(1)$.

d) Soit $x\in A_h$ un élément hermitien. Il existe une forme linéaire positive $f\in A'_+$ telle que $|f(x)|=\|x\|$. (Utiliser l’exercice 7 de I, p. 174).