Bài tập 23, § 6

Cho A là một đại số sao có đơn vị. Ta ký hiệu bởi $A'_+$ không gian vectơ của các dạng tuyến tính $f$ trên A, không nhất thiết liên tục, sao cho

("các dạng tuyến tính dương").

a) Cho $f\in A'_+$. Với mọi dãy $(x_n)_{n\in\mathbf{N}}$ trong $A^{\leqslant 1}_+$, họ $(f(x_n))$ bị chặn. (Chứng minh rằng chuỗi $\sum_if(x_i)y_i$ hội tụ với mọi họ dương $(y_i)$ trong $\ell^1(\mathbf{N})$.)

b) Ánh xạ tuyến tính $f$ là liên tục.

c) Một dạng tuyến tính $f$ thuộc $A'_+$ khi và chỉ khi $f$ liên tục và $\|f\|=f(1)$.

d) Cho $x\in A_h$ là một phần tử Hermit. Tồn tại một dạng tuyến tính dương $f\in A'_+$ sao cho $|f(x)|=\|x\|$. (Sử dụng Bài tập 7 của I, p. 174).