Exercice 24, § 6

Soit A une algèbre de Banach unifère sur $\mathbf{C}$. On suppose que $x\mapsto x^*$ et $x\mapsto x^{\circ}$ sont des involutions sur A telles que A, munie de chacune, est une algèbre stellaire. On note $A_1$ et $A_2$ ces deux algèbres stellaires.

a) Avec les notations de l’exercice 23, montrer que $A'_{1,+}= A'_{2,+}$. On note $A'_+$ cet ensemble.

b) Soit $x\in A_{1,h}$ un élément tel que $x^*=x$. Montrer que pour toute $f\in A'_+$, on a $f(i(x-x^{\circ})) = 0$. En déduire que $x\in A_{2,h}$. (Utiliser la question b) de l’exercice 23).

c) Conclure que $A_1= A_2$, et qu’une algèbre de Banach complexe admet au plus une involution qui en fait une algèbre stellaire.