Bài tập 24, § 6

Cho $A$ là một đại số Banach có đơn vị trên $\mathbf{C}$. Ta giả sử rằng $x\mapsto x^*$ và $x\mapsto x^{\circ}$ là các phép đối hợp trên A sao cho A, được trang bị với mỗi phép trong hai phép đó, là một đại số sao. Ta ký hiệu bởi $A_1$ và $A_2$ hai đại số sao này.

(a) Với các ký hiệu của bài tập 23, bây giờ chứng minh rằng $A'_{1,+}= A'_{2,+}$. Ta ký hiệu tập hợp này bởi $A'_+$.

(b) Cho $x\in A_{1,h}$ là một phần tử sao cho $x^*=x$. Chứng minh rằng với mọi $f\in A'_+$, ta có $f(i(x-x^{\circ})) = 0$. Suy ra rằng $x\in A_{2,h}$. (Sử dụng câu hỏi b) của bài tập 23).

(c) Kết luận rằng $A_1= A_2$, và rằng một đại số Banach phức nhận nhiều nhất một phép đối hợp làm cho nó thành một đại số sao.