Exercice 25, § 6

Soit G un groupe. On note $\mathbf{C}[G]$ l’algèbre du groupe G sur $\mathbf{C}$. C’est un sous-espace de l’espace hilbertien $\ell^2(G)$. Pour $g$ dans G, on note $[g]$ l’élément de $\mathbf{C}[G]$ correspondant à $g$. Les éléments $[g]$, pour $g\in G$, forment une base orthonormale de $\ell^2(G)$ et $\mathbf{C}[G]$ est dense dans $\ell^2(G)$.

a) L’application

est une involution sur $\mathbf{C}[G]$.

b) Pour $g\in G$, soit $\pi (g)$ l’application $x\mapsto gx$ de $\mathbf{C}[G]$. L’application qui à $g$ associe $\pi (g)$ s’étend en un morphisme continu et injectif d’algèbres involutives de $\mathbf{C}[G]$ dans $\mathscr{L}(\ell^2(G))$.

On note Stell$_r(G)$, et on appelle algèbre stellaire réduite de G, l’adhérence dans $\mathscr{L}(\ell^2(G))$ de l’image de l’application $\pi$. C’est une algèbre stellaire. On identifie $\mathbf{C}[G]$ à son image par $\pi$ dans Stell$_r(G)$.

c) L’application linéaire trace Tr$:\mathbf{C}[G]\rightarrow \mathbf{C}$ telle que Tr(1) = 1 et Tr($g$) $=$ 0 pour $g\not= 1$ s’étend en une application linéaire continue Stell$_r(G)\rightarrow \mathbf{C}$.

d) On a Tr($xy$) $=$ Tr($yx$) pour tous $x$ et $y$ dans Stell$_r(G)$.

e) On a Tr($xx^*$)$\geqslant 0$ pour tout $x$ dans Stell$_r(G)$, et Tr($xx^*$) $= 0$ si, et seulement si, $x= 0$.

f) Soit $e$ un élément idempotent de $\mathbf{C}[G]$ tel que $e\not= 0$ et $e\not= 1$. Montrer que $0<$ Tr($e$)$<1$. (Utiliser l’exercice 3).

g) Soit $e$ un élément idempotent de $\mathbf{Z}[G]$. Montrer que $e= 0$ ou $e= 1$. (« Théorème de Kaplansky »).

h) Soit $x$ un élement de $\mathbf{C}[G]$. Alors $x$ est inversible si et seulement s’il est inversible à gauche, si et seulement s’il est inversible à droite.

i) Soit $n$ un entier strictement positif. Une matrice $x$ de type $(n, n)$ à coefficients dans $\mathbf{C}[G]$ est inversible si et seulement si elle est inversible à gauche, si et seulement si elle est inversible à droite.