Bài tập 25, § 6

Cho G là một nhóm. Ký hiệu $\mathbf{C}[G]$ là đại số nhóm của G trên $\mathbf{C}$. Nó là một không gian con của không gian Hilbert $\ell^2(G)$. Với $g$ thuộc G, ký hiệu $[g]$ là phần tử của $\mathbf{C}[G]$ tương ứng với $g$. Các phần tử $[g]$, với $g\in G$, lập thành một cơ sở trực chuẩn của $\ell^2(G)$ và $\mathbf{C}[G]$ là trù mật trong $\ell^2(G)$.

a) Ánh xạ

là một phép đối hợp trên $\mathbf{C}[G]$.

b) Với $g\in G$, gọi $\pi (g)$ là ánh xạ $x\mapsto gx$ của $\mathbf{C}[G]$. Ánh xạ gán cho $g$ ánh xạ $\pi (g)$ mở rộng thành một cấu xạ liên tục và đơn ánh của các đại số có đối hợp từ $\mathbf{C}[G]$ vào $\mathscr{L}(\ell^2(G))$.

Ký hiệu Stell$_r(G)$, và gọi là đại số sao thu gọn của G, là bao đóng trong $\mathscr{L}(\ell^2(G))$ của ảnh của ánh xạ $\pi$. Nó là một đại số sao. Ta đồng nhất $\mathbf{C}[G]$ với ảnh của nó qua $\pi$ trong Stell$_r(G)$.

c) Ánh xạ vết tuyến tính Tr$:\mathbf{C}[G]\rightarrow \mathbf{C}$ sao cho Tr(1) = 1 và Tr($g$) $=$ 0 với $g\not= 1$ mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục Stell$_r(G)\rightarrow \mathbf{C}$.

d) Ta có Tr($xy$) $=$ Tr($yx$) với mọi $x$ và $y$ trong Stell$_r(G)$.

e) Ta có Tr($xx^*$)$\geqslant 0$ với mọi $x$ trong Stell$_r(G)$, và Tr($xx^*$) $= 0$ khi và chỉ khi $x= 0$.

f) Cho $e$ là một phần tử lũy đẳng của $\mathbf{C}[G]$ sao cho $e\not= 0$ và $e\not= 1$. Bây giờ chứng minh rằng $0<$ Tr($e$)$<1$. (Dùng bài tập 3).

g) Cho $e$ là một phần tử lũy đẳng của $\mathbf{Z}[G]$. Bây giờ chứng minh rằng $e= 0$ hoặc $e= 1$. (“Định lý Kaplansky”).

h) Cho $x$ là một phần tử của $\mathbf{C}[G]$. Khi đó $x$ khả nghịch khi và chỉ khi nó khả nghịch trái, khi và chỉ khi nó khả nghịch phải.

i) Cho $n$ là một số nguyên dương ngặt. Một ma trận $x$ kiểu $(n, n)$ với các hệ số trong $\mathbf{C}[G]$ là khả nghịch khi và chỉ khi nó khả nghịch trái, khi và chỉ khi nó khả nghịch phải.